Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Metode şi strategii destinate cercurilor…

METODE ŞI STRATEGII DESTINATE CERCURILOR DE LECTURĂ Prof. Melinte Mihaela Colegiul Tehnic „Traian Vuia” Galaţi Cercurile de lectură reprezintă activităţi didactice, desfăşurate într-un cadru curricular sau extracurricular, al...

Read more

Metode si tehnici de evaluare in invatam…

METODE ŞI TEHNICI DE EVALUARE ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR   Prof. înv. primar Doamna Nicoleta-Ionela, Clasa pregătitoare C Step by step, Şcoala Gimnazială „Diaconu Coresi” Fieni  Prof. înv. Primar Istrate Elena, Clasa pregătitoare C...

Read more

Satira sociala in Tiganiada lui Ion Buda…

SATIRA SOCIALĂ ÎN ȚIGANIADA LUI ION BUDAI – DELEANU   Prof. Drd. Miron Costina Violeta Școala cu clasele I-VIII Tălpaș, Dolj   Mots-clés: satire, intertextualité, société, politique, Tsiganes   Resumé Auteur satirique par excellence, la réponse de...

Read more

Relatia profesor elev

RELAȚIA PROFESOR-ELEV   Andone Crenguța - profesor Colegiul Tehnic de Transporturi Brașov   Rezumat: Articolul “Relația profesor-elev” pornește de la cunoscuta afirmație a lui Ion Creangă, ce are drept idee meseria de dăscăl. M-am...

Read more

Evaluarile nationale pentru clasele II I…

Evaluarile nationale pentru clasele a II-a, a IV-a si a VI-a, amanate cu aproape o luna - calendar Evaluarile Nationale la clasele a II-a, a IV-a si a VI-a, programate sa...

Read more

Scoala Altfel activitati pentru clasele …

ACTIVITATEA NR. 1 CERCETĂŞIA ESTE ALTFEL! ESTE UN MOD DE VIAŢĂ!   1.     Grupa de vârstă: copiii din clasele V-VIII 2.     Ariile de dezvoltare: fizic, intelectual, caracter, emoţional, social, spiritual 3.     Denumirea activităţii: CERCETĂŞIA ESTE...

Read more

Formarea continua e-learning

FORMAREA CONTINUÃ e-LEARNING   Simona Maria Doncilã, profesor Grup Şcolar „Demostene Botez” Trusesti - Botosani     Lumea de astãzi se bazeazã pe inovare rapidã. Pe mãsurã ce trece la o economie bazatã pe cunoastere,...

Read more

Centre universitare universitati adrese…

Centre universitare - universitati - adrese contact   Centrul Universitar Bucureşti  Academia de Studii Economice Strada Piaţa Romană nr. 6, telefon 021.319.19.00 şi 021.319.19.01, fax 021.319.18.99 www.ase.ro    Academia de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza" Aleea Privighetorilor nr. 1A,...

Read more