Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Metodologia reformei educatiei

METODOLOGIA REFORMEI EDUCAŢIEI Prof. Nae Mihaela Liceul Tehnologic “ Constantin Brâncuşi”, Piteşti “Cunoaşterea literaturii române reprezintă un proces didactic complex, eşalonat pe un întins parcurs temporal, bine organizat în virtutea unor...

Read more

Spune Nu drogurilor - tipuri de droguri …

11. Solvenţi   În anii 50, inhalarea de cleiuri a fost larg răspândită în rândul adolescenţilor americani şi suedezi. Adezivii care conţin toluol şi solvenţi volatili erau picuraţi pe batiste (care...

Read more

De ce imi plange ziua ce a trecut

DE CE ÎMI PLÂNGE ZIUA CE-A TRECUT?    de Ştefan Lucian MUREŞANU                 Fulgi mari se jucaseră în văzduh, bătând în geamurile prăfuite ale camerei mele de lucru, toată ziua. Rece şi transpirată...

Read more

Regulament recunoasterea studiilor din i…

Ordin pentru aprobarea Regulamentului privind recunoasterea in invatamantul tertiar nonuniversitar a studiilor obtinute in cadrul invatamantului liceal - filiera tehnologica sau vocationala

Read more

The european intercultural communication

THE EUROPEAN INTERCULTURAL COMMUNICATION Profesor Jianu Camelia Colegiul Tehnic Reşiţa, Caraş-Severin               Abstract             Objectives of the new European agenda for culture are defined around three main aspects: cultural diversity and intercultural dialogue; stimulation...

Read more

Tratarea diferentiata a elevilor modalit…

STUDIU- TRATAREA DIFERENȚIATĂ A ELEVILOR- MODALITATE DE STIMULARE A RANDAMENTULUI ȘCOLAR Prof. înv. primar Gligor Dana Școala Gimnazială Cîmpeni, jud. Alba Diferenţierea şi individualizarea instruirii constituie o problemă pedagogică veche, dar...

Read more

Regulament de organizare si activitatilo…

REGULAMENT DE ORGANIZARE A ACTIVITĂȚILOR     CUPRINSE ÎN CALENDARUL ACTIVITĂȚILOR EDUCATIVE, ȘCOLARE ȘI EXTRAȘCOLARE   În plan european, iniţiativa promovării activităţii educative extraşcolare aparţine Consiliului Europei, prin Comitetul de Miniştri, care şi-a concretizat demersurile...

Read more

Rolul educatiei fizice si sportului in i…

METODOLOGIA ORGANIZĂRII ŞI DESFĂŞURĂRII ACTIVITĂŢILOR DE EDUCAŢIE FIZICĂ ŞI SPORT ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR       CAPITOLUL I ROLUL EDUCAŢIEI FIZICE ŞI SPORTULUI ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR   Art.1. Educaţia fizică şi sportul sunt componente ale educaţiei globale, prin...

Read more