Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Calendar desfasurare concurs corpul nati…

Calendarul desfăşurării concursului de selecţie a cadrelor didactice pentru constituirea corpului naţional de experţi în management educaţional, sesiunea 2012, seria a 2-a     CALENDARUL desfăşurării concursului de selecţie a cadrelor didactice pentru...

Read more

Study on subjectivity and feminism_Virgi…

STUDY ON SUBJECTIVITY AND FEMINISM IN VIRGINIA WOOLF’S THE NEW DRESS Part II   Prof. Delia Ilona Cristea Colegiul Naţional Elena Cuza, Craiova It is through the searching for a language...

Read more

Sarbatori si obiceiuri taranesti Cununa

Sarbatori si obiceiuri taranesti Cununa

Sarbatori si obiceiuri taranesti - Cununa Dintre numeroasele obiceiuri legate de muncile agricole face parte si cel numit “Cununa”, “Buzduganul” sau “Crucea”, care marcheaza sfarsitul secerisului. Dainuie din vechime, in forme...

Read more

Dezvoltarea creativitatii in exprimarea …

DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ÎN EXPRIMAREA ORALĂ A ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR Înv. Gligor Dana Școala Gimnazială Vidra Limbajul elevilor din clasele primare se îmbogățește, se...

Read more

Calendar examenul de bacalaureat 2017

Calendar examenul de bacalaureat 2017 Calendarul examenului de bacalaureat din 2017, pentru absolventii clasei a XII-a si a XIII-a, a fost publicat recent in Monitorul Oficial, intr-un ordin al ministrului...

Read more

Alege scoala Proiect de prevenire a aban…

ALEGE ŞCOALA PROIECT DE PREVENIRE A ABANDONULUI ŞCOLAR Coordonator proiect, Prof. Lepădatu Liliana Şcoala Gimnazială Parava, Jud. Bacău Elevii proveniţi din familii defavorizate, în pericol de abandon şcolar şi fără...

Read more

Mihai Eminescu un poet universal

UN POET UNIVERSAL – MIHAI EMINESCU     Învăţătoare: Nevodenszki Sorina, ,,Şcoala cu clasele I-VIII  Sânandrei”, Jud. Timiş     ,,Geniul lui Eminescu a intrat definitiv în Panteonul culturii naţionale, şi figura lui este privită asemenea unui ...

Read more

Previziune cataclismica in poezia simbol…

PREVIZIUNE CATACLISMICĂ ÎN POEZIA SIMBOLISTĂ BACOVIANĂ         dr. Ştefan Lucian MUREŞANU     Motto: Vrăjitorilor evului mediu le spun: / - Lăsaţi să clipească ochiul senin deasupra Egipetului,              / Niciodată nu mor martirii dreptăţii. (George...

Read more