Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

BLACKNESS VS. WHITENESS IN THE EARLY FIL…

BLACKNESS VS. WHITENESS IN THE EARLY FILM INDUSTRY Burghiu Iuliana-Florina, Grup Şcolar “Sfânta Maria”, Galaţi               This article is a theoretical attempt to present the background of the early film industry, which...

Read more

Chestionar pentru parinti privind implic…

ANONIM   CHESTIONAR PENTRU PĂRINŢI IMPLICAREA FAMILIEI ÎN EDUCAŢIA COPILULUI     Am dori să cunoaştem cateva aspecte referitoare la implicarea  familiei în educaţia copiilor şi a relaţiilor dintre familie şi şcoală. Răspunsurile pe care le vom...

Read more

Statutul epistemologic al pedagogiei

STATUTUL EPISTEMOLOGIC AL PEDAGOGIEI   Orice stiinta se constituie relativ lent, parcurcand 3-4 faze. Faza prestiintifica se caracterizeaza prin faptul ca fenomenelor care impresioneaza sau uimesc li se dau explicatii mitico-religioase, fiind insotite...

Read more

Consideratii privind potentialul turisti…

CONSIDERAŢII PRIVIND POTENŢIALUL TURISTIC AL COMUNEI DUMBRĂVENI (JUDEŢUL VRANCEA)   Prof. Ciobotaru Ana-Maria Şcoala Gimnazială Măicăneşti   Rezumat: Comuna Dumbraveni prezintă un potenţial turistic puţin valorificat dar de foarte mare preţuire economică. Prin poziţia geografică,...

Read more

Relatiile interpersonale din clasa de el…

RELATIILE INTERPERSONALE DIN CLASA DE ELEVI - STUDIU   Interactiunea educationala este un aspect, o forma din multitudinea si varietatea relatiilor interpersonale in clasa de elevi in ceea ce priveste o posibila...

Read more

Agresivitatea umana si influenta acestei…

AGRESIVITATEA UMANĂ ŞI INFLUENŢA ACESTEIA ASUPRA PREŞCOLARILOR                                                           Prof. Dulgheru Alina Simona, Grădiniţa. Cu PP  “Clopotel”, Bârlad   Motto: "Omul va deveni mai bun, atunci când îi veţi arăta cum este el în...

Read more

Retea de educatie civica pentru copii si…

Retea de educatie civica pentru copii si tineri

Retea de educatie civica pentru copii si tineri Coordonator Ilea Maria - Asociatia "Sprijiniti Copiii"

Read more

Dezvoltarea capacitatilor perceptive de …

DEZVOLTAREA CAPACITĂŢILOR PERCEPTIVE, DE OBSERVARE ŞI DE REPREZENTARE A PREŞCOLARILOR   Educator Stan Luminiţa-Simona Gradiniţa cu program normal Bălăbăneşti, Galaţi   Preşcolarii au o deschidere perceptivă specială asupra spectacolului lumii ceea ce stimulează în grad...

Read more