Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Continutul dosarului comisiei metodice s…

Conţinutul dosarului comisiei metodice sau ariei curriculare     I. Componenta organizatorică - structura noului an şcolar; - încadrări; - componenţa catedrei (nume, grade didactice, vechime); - orarul membrilor catedrei.   II. Componenta managerială - raport de activitate pe anul...

Read more

ABORDAREA METODELOR ACTIV-PARTICIPATIVE

O PLEDOARIE PENTRU ABORDAREA METODELOR ACTIV-PARTICIPATIVE LA CLASÃ   Înv. Damian Liliana Şcoala cu clasele I-VIII Vãdeni, Jud. Brãila     Activitatea de instruire a elevilor care se desfãsoarã în scoalã tinde spre o formã optimalã...

Read more

Constituirea corpului national de expert…

Concursul de selecţie a cadrelor didactice pentru constituirea corpului naţional de experţi în management educaţional, sesiunea 2012, seria a 2-a OMECTS 4171 / 24.05.2012   Publicat in M.Of. nr.362 din 29.05.2012   În baza prevederilor...

Read more

Evaluarea in contextul invatarii integra…

EVALUAREA ÎN CONTEXTUL ÎNVĂȚĂRII INTEGRATE Prof. Macarie Cristina, Liceul Vocațional Pedagogic ,,Mihai Eminescu” Tîrgu Mureș Evaluarea este un proces didactic complex, integrat structural şi funcţional în activitatea desfășurată în cadrul...

Read more

Autoobservarea si autonotarea zilnica la…

AUTOBSERVAREA ŞI AUTONOTAREA ZILNICĂ LA PURTARE A ELEVILOR, O CALE PENTRU A ELIMINA INDISCIPLINA ÎN ŞCOALĂ                                                                                       Virgil Beceru, profesor pensionar, Iaşi,           Şcoala şi familia se află într-un...

Read more

A study about Jane Eyre

A STUDY ABOUT JANE EYRE Prof. Adriana- Maria Ştefănescu Liceul Tehnologic Energetic „Regele Ferdinand I”, Timişoara Charlotte Brontë (1816-1855) was born in Thornton, Yorkshire, England, the third of six children....

Read more

Managementul schimbarii in organizatie

MANAGEMENTUL SCHIMBĂRII ÎN ORGANIZAŢIE   prof. Ciucă Cristina, Şcoala cu clasele I – VIII Bâsca – Chiojdului, Com. Chiojdu,  Jud. Buzău   Schimbarea la nivel organizaţional presupune realizarea unor modificări profunde esenţiale ale organizaţiei. Exemplu:...

Read more

Chestionar pentru personalul didactic in…

ANEXA Nr. 9   la regulament   CHESTIONAR pentru personalul didactic*)      ___________    *)Raspunsurile la acest chestionar au caracter confidential.   - model -   In scopul diagnosticarii procesului institutional din scoala dvs., a stabilirii unor...

Read more